Question

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
− каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58 564 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Answer 1

Пусть b = 1 + r/100 и взяли в кредит a рублей (все суммы в рублях). Для краткости записи решения обозначим x = 58 564,y = 106 964.
Так как при ежегодной выплате x рублей остаток долга равен нулю, то верно равенство:
(((ab-x)b-x)b-x)b-x = 0.     
Так как при ежегодной выплате y рублей остаток долга равен нулю, то верно равенство:
(ab-y)b-y = 0.     
Выразив из равенств (1) и (2) число a, и приравняв полученные результаты, получим уравнение относительно b. Выполним равносильные преобразования полученного уравнения, учитывая, что b> 1 и b^3+ b^2+ b+1 =
= (b^4- 1)/(b - 1):
(b^3+ b^2+ b+1)x/b^4  = (b+1)y/b^2 ,
(b^3+ b^2+ b+1)x = b^2 (b+1)y,    
(b^4- 1)x/(b - 1) = b^2 (b+1)y,         
(b + 1)(b - 1)(b^2+ 1)x/(b - 1) = b^2 (b+1)y,        
(b^2+1)x = b^2 y,       
откуда получим, что b^2= x/(y - x) = 58564/(106964 - 58564) = 58564/48400.
Так как b>0, то b = 1,1. Следовательно, r = 10.   
Ответ. 10.