Для задачи с показательным распределением вероятности, функция правдоподобия будет иметь вид:
L(λ|x1, x2, ..., xn) = λ^n * e^(-λ(x1 + x2 + ... + xn))
где λ - параметр показательного закона распределения (время между авариями),
x1, x2, ..., xn - данные о количестве аварий за каждый месяц работы.
Для нахождения оценки параметра λ методом наибольшего правдоподобия необходимо максимизировать функцию правдоподобия по параметру λ.
Приравняем производную от функции правдоподобия по параметру λ к нулю и решим полученное уравнение:
d/dλ (L(λ|x1, x2, ..., xn)) = n/λ - (x1 + x2 + ... + xn) = 0
n/λ = (x1 + x2 + ... + xn)
Отсюда получаем оценку параметра λ:
λ = n / (x1 + x2 + ... + xn)
Подставляя значения из задачи, получим:
λ = 5 / (3 + 4 + 1 + 0 + 2) = 5 / 10 = 0.5
Таким образом, оценка параметра λ для данной задачи равна 0.5.
Чтобы найти вероятность того, что за шестой месяц произойдет 5 аварий, можно использовать показательное распределение с параметром λ = 0.5. Вероятность рассчитывается по формуле:
P(X = k) = λ^k * e^(-λ) / k!
где X - случайная величина (количество аварий), k - количество аварий.
Подставляя значения из задачи, получим:
P(X = 5) = 0.5^5 * e^(-0.5) / 5!
P(X = 5) ≈ 0.029
Таким образом, вероятность того, что за шестой месяц произойдет 5 аварий, примерно равна 0.029.