Question

Устройство содержит 1000 одинаково надежных элементов, каждый из которых может  отказывать с вероятностью 0,003. Какова вероятность, что откажет: а) более одного элемента,  б) хотя бы один элемент? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины  ξ - числа отказавших элементов.

Answer 1

а) Вероятность отказа одного элемента равна 0,003, следовательно, вероятность того, что не откажет ни один элемент, равна (1 - 0,003)^1000 = 0,049. Тогда вероятность того, что откажет более одного элемента, равна 1 - 0,049 - 0,001 = 0,95.

б) Вероятность отказа хотя бы одного элемента равна 1 - вероятность того, что не откажет ни один элемент, то есть 1 - 0,049 = 0,951.

Математическое ожидание числа отказавших элементов равно сумме произведений числа отказавших элементов на их вероятность их отказа:

E(ξ) = 0*0,997^1000 + 1*1000*0,003*0,997^999 + 2*C(1000,2)*0,003^2*0,997^998 + ... + 1000*0,003^1000 ≈ 3

Дисперсия случайной величины ξ определяется как D(ξ) = E(ξ^2) - E(ξ)^2. Так как вероятность отказа каждого элемента одинакова и равна 0,003, то можно воспользоваться биномиальным распределением и выразить дисперсию через параметр p = 0,003 и количество испытаний n = 1000:

D(ξ) = np(1-p) = 1000*0,003*(1-0,003) ≈ 2,991.