Для определения оптимального количества труда и капитала необходимо решить задачу оптимизации затрат на производство и получение максимальной выручки.
Стоимость производства Q можно выразить через затраты на капитал (K) и труд (L):
Q = K1/4 • L1/4
Затраты на производство складываются из затрат на капитал и затрат на труд:
C = R + W • L
где C - затраты на производство, R - арендная плата, W - заработная плата.
Выручка (P) равна произведению количества продукции (Q) на цену единицы продукции (p):
P = p • Q
Цена единицы продукции (p) можно определить по формуле:
p = P / Q
Максимальную выручку можно получить при максимальной производительности (Q), которая достигается при оптимальном соотношении затрат на капитал и труд.
Продифференцируем функцию затрат по K и L:
dC/dK = 1/4 • K-3/4 • L1/4
dC/dL = 1/4 • K1/4 • L-3/4
Условие оптимальности: dC/dK = dC/dL
1/4 • K-3/4 • L1/4 = 1/4 • K1/4 • L-3/4
Упрощаем:
L/K = 1
Таким образом, оптимальное соотношение затрат на капитал и труд равно 1:1.
Для определения оптимального количества труда и капитала необходимо учитывать бюджет фирмы и цену единицы продукции. Если цена продукции выше затрат на производство, то фирма может использовать больше капитала и труда для увеличения производства и получения дополнительной прибыли. Если же цена продукции ниже затрат на производство, то фирма должна сократить затраты на капитал и труд, чтобы минимизировать убытки.