1) Закон распределения случайной величины Х можно определить с помощью биномиального распределения, так как каждое рождение мальчика или девочки является независимым событием, и вероятность рождения мальчика или девочки равна 0.5.
Формула биномиального распределения:
P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k),
где P(X=k) - вероятность того, что число мальчиков в семье равно k, n - общее число детей в семье, p - вероятность рождения мальчика (или девочки), k - число мальчиков в семье.
В данном случае n=5 (общее число детей), p=0.5 (вероятность рождения мальчика или девочки).
2) а) Вероятность события А - в семье не менее 1, но не более 3 мальчиков:
P(1 <= X <= 3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)
Подставим значения в формулу биномиального распределения:
P(1 <= X <= 3) = C(5,1) * 0.5^1 * (1-0.5)^(5-1) + C(5,2) * 0.5^2 * (1-0.5)^(5-2) + C(5,3) * 0.5^3 * (1-0.5)^(5-3)
б) Вероятность события B - не более 2 мальчиков:
P(X <= 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
Подставим значения в формулу биномиального распределения:
P(X <= 2) = C(5,0) * 0.5^0 * (1-0.5)^(5-0) + C(5,1) * 0.5^1 * (1-0.5)^(5-1) + C(5,2) * 0.5^2 * (1-0.5)^(5-2)
с) Вероятность события C - хотя бы один мальчик:
P(X >= 1) = 1 - P(X=0)
Подставим значения в формулу биномиального распределения:
P(X >= 1) = 1 - C(5,0) * 0.5^0 * (1-0.5)^(5-0)
3) Многоугольник распределения для случайной величины Х будет выглядеть следующим образом:
k | P(X=k)
-----------
0 | 0.03125
1 | 0.15625
2 | 0.3125
3 | 0.3125
4 | 0.15625
5 | 0.03125
4) Числовые характеристики случайной величины Х:
- Математическое ожидание (среднее значение) E(X) = n * p = 5 * 0.5 = 2.5
- Дисперсия Var(X) = n * p * (1-p) = 5 * 0.5 * (1-0.5) = 1.25
- Стандартное отклонение SD(X) = sqrt(Var(X)) = sqrt(1.25) ≈ 1.12