Question

Двое играют до победы, причем первому для этого необходимо выиграть n партий, а второму m партий. Вероятность победы в каждой партии для первого игрока равна p, а для второго q=1-p. Определить вероятность выигрыша всей игры первым игроком.

Answer 1

Для определения вероятности выигрыша всей игры первым игроком нужно использовать формулу биномиального распределения.

Пусть X - количество партий, которые выиграет первый игрок. Возможные значения X - от n до n+m.

Вероятность победы первого игрока в каждой партии равна p, а вероятность победы второго игрока равна q=1-p.

Тогда вероятность выигрыша всей игры первым игроком будет равна сумме вероятностей, когда первый игрок выигрывает от n до n+m партий:

P(X>=n) = P(X=n) + P(X=n+1) + ... + P(X=n+m)

P(X=k) = C(n+m,k) * p^k * q^(n+m-k)

Теперь можно определить вероятность выигрыша всей игры первым игроком:

P(X>=n) = P(X=n) + P(X=n+1) + ... + P(X=n+m)
= [C(n+m,n) * p^n * q^m] + [C(n+m,n+1) * p^(n+1) * q^(m-1)] + ... + [C(n+m,n+m) * p^(n+m) * q^0]

Однако, для более точных вычислений, может быть удобно использовать комбинаторные формулы для упрощения расчетов.

Например, можно использовать формулу суммы биномиальных коэффициентов:

C(n+m,n) + C(n+m,n+1) + ... + C(n+m,n+m) = 2^(n+m)

Тогда вероятность выигрыша всей игры первым игроком будет равна:

P(X>=n) = 2^(n+m) * p^n * q^m

Таким образом, вероятность выигрыша всей игры первым игроком равна 2^(n+m) * p^n * q^m.