Поскольку окружность касается катетов в точках А и В, то отрезки AN и BK являются радиусами окружности. Обозначим радиус окружности как r.
Так как окружность касается катетов, то точки А и В делят гипотенузу МN на 3 отрезка: AM, MN и NB. Обозначим эти отрезки как x, y и z соответственно.
Тогда по теореме Пифагора для треугольника МАN получаем:
x^2 + r^2 = 3^2
x^2 + r^2 = 9
Аналогично, для треугольника BKN получаем:
z^2 + r^2 = 2^2
z^2 + r^2 = 4
Так как точка N является вершиной прямоугольного треугольника, то сумма отрезков MN и NB равна длине гипотенузы МN:
y + z = MN
Из этих уравнений можно выразить отрезки x, y и z через радиус r:
x = sqrt(9 - r^2)
z = sqrt(4 - r^2)
y = MN - z
Теперь мы можем записать уравнение для длины гипотенузы МN:
MN^2 = (AM + NB)^2
MN^2 = (x + z)^2
MN^2 = (sqrt(9 - r^2) + sqrt(4 - r^2))^2
MN^2 = (9 - r^2 + 2sqrt((9 - r^2)(4 - r^2)) + 4 - r^2)
MN^2 = 13 - 2r^2 + 2sqrt((9 - r^2)(4 - r^2))
Так как AN = 3 и BK = 2, то сумма отрезков x, y и z равна длине гипотенузы МN:
x + y + z = MN
sqrt(9 - r^2) + MN - sqrt(4 - r^2) = MN
sqrt(9 - r^2) - sqrt(4 - r^2) = 0
sqrt(9 - r^2) = sqrt(4 - r^2)
9 - r^2 = 4 - r^2
r^2 = 5
Теперь подставим значение радиуса в уравнение для длины гипотенузы МN:
MN^2 = 13 - 2(5) + 2sqrt((9 - 5)(4 - 5))
MN^2 = 13 - 10 + 2sqrt(4)
MN^2 = 3 + 4
MN^2 = 7
MN = sqrt(7)
Таким образом, длина гипотенузы МN равна sqrt(7).