1) Характеристическое уравнение для данного ДУ имеет вид:
r^2 - 2r - 3 = 0.
Решим это уравнение с помощью квадратного корня:
r = (2 ± √(2^2 - 4*1*(-3))) / (2*1)
r = (2 ± √(4 + 12)) / 2
r = (2 ± √16) / 2
r = (2 ± 4) / 2
Таким образом, получаем два корня:
r1 = (2 + 4) / 2 = 3
r2 = (2 - 4) / 2 = -1
Общее решение линейного однородного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
y(x) = c1*e^(r1*x) + c2*e^(r2*x),
где c1 и c2 - произвольные постоянные.
Таким образом, общее решение для данного ДУ будет:
y(x) = c1*e^(3*x) + c2*e^(-x).
2) Характеристическое уравнение для данного ДУ имеет вид:
4r^2 + 4r + 1 = 0.
Решим это уравнение с помощью квадратного корня:
r = (-4 ± √(4^2 - 4*4*1)) / (2*4)
r = (-4 ± √(16 - 16)) / 8
r = (-4 ± 0) / 8
r = -1/2
Таким образом, получаем один корень:
r = -1/2
Общее решение линейного однородного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
y(x) = c1*e^(r*x) + c2*x*e^(r*x),
где c1 и c2 - произвольные постоянные.
Таким образом, общее решение для данного ДУ будет:
y(x) = c1*e^(-1/2*x) + c2*x*e^(-1/2*x).
3) Характеристическое уравнение для данного ДУ имеет вид:
r^2 - 0.2r + 2.01 = 0.
Решим это уравнение с помощью квадратного корня:
r = (0.2 ± √(0.2^2 - 4*1*2.01)) / (2*1)
r = (0.2 ± √(0.04 - 8.04)) / 2
r = (0.2 ± √(-8)) / 2
Так как дискриминант отрицательный, то корни будут комплексными числами:
r = (0.2 ± i√8) / 2
r = 0.1 ± 0.4i√2
Общее решение линейного однородного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
y(x) = e^(αx)(c1*cos(βx) + c2*sin(βx)),
где α и β - вещественные числа, а c1 и c2 - произвольные постоянные.
Таким образом, общее решение для данного ДУ будет:
y(x) = e^(0.1x)(c1*cos(0.4√2*x) + c2*sin(0.4√2*x)).