Question

Найдите все такие пары натуральных чисел a и b, что
НОК(a, b) = НОД(a, b) + 19
(и докажите, что других нет).
НОД(a, b) — это наибольший общий делитель, то есть наибольшее натуральное число, делящее и a, и b. НОК(a, b) — это наименьшее общее кратное, то есть наименьшее натуральное число, кратное и a, и b.

Answer 1

Ответ: (a, b) = (1, 20),(20, 1),(4, 5),(5, 4),(19, 38),(38, 19).
Решение. Пусть d = НОД(a, b). Заметим, что и НОК, и НОД делятся на d, а значит, и 19 делится на d. Поскольку 19 простое, получаем, что d = 1 или d = 19.
• Если d = 1, то числа a и b взаимно просты, и НОК(a, b) = a·b = 1+19 = 20.
Это дает варианты (1, 20), (20, 1), (4, 5), (5, 4).
• Если d = 19, то НОК(a, b) = 19 + 19 = 38. Это означает, что a = 19, b = 38 или a = 38, b = 19.