Question

На сторонах треугольника ABC отмечены точки M, N, K (M ∈ BC, N ∈ AB, K ∈ AC) так, что ∆ BMN = ∆ CMK. В каких случаях треугольники отрезки MN и AC будут параллельны, а в каких – нет?

Answer 1

Треугольники BMN и CMK равны по площади, что означает, что их высоты, проведенные к общей стороне AC, равны. То есть высота треугольника BMN, проведенная к стороне AC, равна высоте треугольника CMK, проведенной к той же стороне AC.

Теперь рассмотрим случаи, когда отрезок MN параллелен стороне AC и когда не параллелен:
1. Отрезок MN параллелен стороне AC:
   - Это происходит в случае, когда отрезок MN является средним перпендикуляром к стороне AC. То есть, высоты треугольников BMN и CMK равны, и MN делит сторону AC пополам.
   
2. Отрезок MN не параллелен стороне AC:
   - Если отрезок MN не является средним перпендикуляром к стороне AC, то он будет пересекать сторону AC в точке, которая не является серединой отрезка AC. В этом случае отрезок MN и сторона AC не будут параллельны.

Таким образом, отрезок MN будет параллелен стороне AC только в том случае, если он является средним перпендикуляром к стороне AC и делит её пополам.