Для нахождения ряда распределения дискретной случайной величины X - числа извлеченных черных шаров, можно использовать метод комбинаторики.
В данном случае, возможные значения X равны 0, 1, 2 и 3.
1. Для X = 0 (не было извлечено ни одного черного шара): это происходит только в одном случае, когда все три извлеченных шара являются белыми. Таким образом, P(X = 0) = (4/7) * (3/6) * (2/5) = 24/210 = 4/35.
2. Для X = 1 (был извлечен один черный шар): это происходит в трех случаях: черный-белый-белый, белый-черный-белый и белый-белый-черный. Таким образом, P(X = 1) = [(3/7) * (4/6) * (2/5)] + [(4/7) * (3/6) * (2/5)] + [(4/7) * (3/6) * (3/5)] = 72/210 = 12/35.
3. Для X = 2 (было извлечено два черных шара): это происходит в трех случаях: черный-черный-белый, черный-белый-черный и белый-черный-черный. Таким образом, P(X = 2) = [(3/7) * (2/6) * (4/5)] + [(3/7) * (4/6) * (3/5)] + [(4/7) * (3/6) * (3/5)] = 72/210 = 12/35.
4. Для X = 3 (были извлечены все три черных шара): это происходит только в одном случае, когда все три извлеченных шара являются черными. Таким образом, P(X = 3) = (3/7) * (2/6) * (1/5) = 6/210 = 1/35.
Теперь, когда мы определили ряд распределения X, мы можем найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение X.
Математическое ожидание E(X) можно найти, умножив каждое возможное значение X на его вероятность и сложив результаты:
E(X) = 0 * (4/35) + 1 * (12/35) + 2 * (12/35) + 3 * (1/35) = 0 + 12/35 + 24/35 + 3/35 = 39/35 = 1.114.
Дисперсию Var(X) можно найти, используя формулу Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2. Для этого нам необходимо найти E(X^2):
E(X^2) = 0^2 * (4/35) + 1^2 * (12/35) + 2^2 * (12/35) + 3^2 * (1/35) = 0 + 12/35 + 48/35 + 9/35 = 69/35 = 1.971.
Теперь, мы можем вычислить дисперсию:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 1.971 - (1.114)^2 = 1.971 - 1.243 = 0.728.
Среднеквадратическое отклонение X можно найти, извлекая квадратный корень из дисперсии:
SD(X) = sqrt(Var(X)) = sqrt(0.728) ≈ 0.853.
Таким образом, ряд распределения X - числа извлеченных черных шаров: {0, 1, 2, 3}, математическое ожидание E(X) ≈ 1.114, дисперсия Var(X) ≈ 0.728 и среднеквадратическое отклонение SD(X) ≈ 0.853.