а) С помощью формулы Бернулли:
P = C(7,2) * 0,2^2 * 0,8^5 = 0,322
где P - вероятность того, что среди 7 мужчин 2 носят обувь 43 размера; C(7,2) - количество сочетаний из 7 мужчин по 2; 0,2 - вероятность того, что мужчина носит обувь 43 размера; 0,8 - вероятность того, что мужчина не носит обувь 43 размера.
С помощью теоремы Лапласа:
Среднее значение (математическое ожидание) = n * p = 7 * 0,2 = 1,4
Стандартное отклонение = sqrt(n * p * (1 - p)) = sqrt(7 * 0,2 * 0,8) = 1,12
Z-оценка для 2 человек, носящих обувь 43 размера:
Z = (2 - 1,4) / 1,12 = 0,57
Вероятность можно найти с помощью таблицы стандартного нормального распределения или калькулятора:
P = P(Z < 0,57) - P(Z < -0,57) = 0,712 - 0,283 = 0,429
б) С помощью формулы Бернулли:
P = C(60,20) * 0,2^20 * 0,8^40 = 0,139
где P - вероятность того, что среди 60 мужчин ровно 20 носят обувь 43 размера; C(60,20) - количество сочетаний из 60 мужчин по 20.
С помощью теоремы Лапласа:
Среднее значение (математическое ожидание) = n * p = 60 * 0,2 = 12
Стандартное отклонение = sqrt(n * p * (1 - p)) = sqrt(60 * 0,2 * 0,8) = 2,19
Z-оценка для 20 человек, носящих обувь 43 размера:
Z = (20 - 12) / 2,19 = 3,65
Вероятность можно найти с помощью таблицы стандартного нормального распределения или калькулятора:
P = P(Z > 3,65) = 0,0001
в) С помощью формулы Бернулли:
P = Σ[C(80,k) * 0,2^k * 0,8^(80-k)] при k от 15 до 80
где P - вероятность того, что среди 80 мужчин не менее 15 носят обувь 43 размера; C(80,k) - количество сочетаний из 80 мужчин по k.
С помощью теоремы Лапласа:
Среднее значение (математическое ожидание) = n * p = 80 * 0,2 = 16
Стандартное отклонение = sqrt(n * p * (1 - p)) = sqrt(80 * 0,2 * 0,8) = 2,83
Z-оценка для не менее чем 15 человек, носящих обувь 43 размера:
Z = (15 - 16) / 2,83 = -0,35
Вероятность можно найти с помощью таблицы стандартного нормального распределения или калькулятора:
P = P(Z > -0,35) = 0,6368