Question

В прямоугольнике ABCD со сторонами AB = 7 см, BC = 8 см, точки K на стороне AB и L на стороне BC расположены так, что AK = 1 см, BL = 4 см. Докажите, что треугольник DKL равнобедренный

Answer 1

Для доказательства равнобедренности треугольника DKL нужно показать, что у него две равные стороны.

Заметим, что треугольники AKD и BLC подобны (по признаку общей стороны и углу между ними). Значит, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны:

AK/BL = DK/LC

Подставим известные значения:

1/4 = DK/(8-DL)

Перенесем DL в левую часть и упростим:

DL/4 + DK/4 = 2

(DL+DK)/4 = 2

DL+DK = 8

Теперь заметим, что треугольники ADK и CLB также подобны (по тому же признаку). Значит, соответствующие стороны этих треугольников также пропорциональны:

AD/CL = DK/LC

Подставим известные значения:

7/8 = DK/(8-DL)

Перенесем DL в левую часть и упростим:

8DK - 7DL = 56

Теперь мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными (DL и DK):

DL+DK = 8
8DK - 7DL = 56

Решая ее, получаем:

DK = 4, DL = 4

Значит, стороны DK и DL равны, и треугольник DKL является равнобедренным.