Для решения задачи необходимо учесть, что доска находится в равновесии, то есть сумма всех сил, действующих на нее, равна нулю. Силами, действующими на доску, являются сила тяжести и сила трения между доской и полом.
Пусть длина доски равна L, ее центр масс находится на расстоянии L/2 от опоры на полу, а угол между доской и полом равен θ. Тогда сумма сил по вертикали равна нулю:
N - mgcosθ = 0,
где N - сила реакции опоры на полу, m - масса доски, g - ускорение свободного падения.
Сумма сил по горизонтали также должна быть равна нулю:
Fтр - Fст = 0,
где Fтр - сила трения, Fст - горизонтальная составляющая силы реакции опоры на стену.
Сила трения выражается через коэффициент трения μ и силу реакции опоры на полу:
Fтр = μN.
Горизонтальная составляющая силы реакции опоры на стену равна
Fст = Nsinθ.
Таким образом, получаем уравнение для максимального расстояния x между нижним концом доски и стеной:
μN = Nsinθ,
tgθ = μ,
x = L/2cosθ = L/2√(1 - μ^2).
Ответ: максимальное расстояние x между нижним концом доски и стеной равно L/2√(1 - μ^2).