Question

Точки К, L, M, N - середины рёбер AB, AD, C1B1, C1D1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 с объёмом 24 см3, О и O1 - точки пересечения диагоналей граней ABCD и A1B1C1D1. Найдите объём призмы AKOLO,MC3N.

Answer 1

Объем призмы можно найти по формуле V = Sh, где S - площадь основания, h - высота призмы.

Поскольку AKOLO и MC3N - прямые призмы, то их объемы можно найти отдельно и затем сложить.

Для нахождения объема призмы AKOLO нужно найти площадь основания и высоту. Площадь основания равна площади треугольника ABC, который является основанием параллелепипеда. По условию, объем параллелепипеда равен 24 см3. Значит, его высота равна:

h = V/S = 24/ABC

Высоту треугольника ABC можно найти с помощью формулы Герона:

p = (AB + BC + AC)/2 = (3 + 4 + 5)/2 = 6
S(ABC) = √(p(p-AB)(p-BC)(p-AC)) = √(6*3*2*1) = 3√2

Таким образом, высота призмы AKOLO равна:

h = 24/ABC = 24/(3√2) = 8√2

Площадь основания призмы AKOLO равна S = S(ABC) = 3√2

Значит, объем призмы AKOLO равен:

V(AKOLO) = Sh = 3√2 * 8√2 = 48

Аналогично, для нахождения объема призмы MC3N нужно найти площадь основания и высоту. Площадь основания равна площади треугольника A1B1C1, которая также равна S(ABC). Высоту призмы MC3N можно найти, заметив, что точки M и N являются серединами ребер AD и C1D1 соответственно. Значит, высота призмы MC3N равна половине высоты параллелепипеда:

h = 1/2 * AA1 = 1/2 * AB = 1/2 * 5 = 2.5

Таким образом, объем призмы MC3N равен:

V(MC3N) = Sh = S(ABC) * h = 3√2 * 2.5 = 7.5√2

Итак, объем призмы AKOLO,MC3N равен:

V = V(AKOLO) + V(MC3N) = 48 + 7.5√2 ≈ 59.8 (см3)