Question

У треугольников ABC и CDA вершины B и D лежат по разные стороны от прямой AC. Докажите что AB параллельны CD

Answer 1

Рассмотрим треугольник ABC. По условию, вершина B лежит по одну сторону от прямой AC, значит, угол ∠ABC либо острый, либо прямой.

Если угол ∠ABC острый, то по свойству остроугольного треугольника его наибольшая сторона BC лежит напротив наибольшего угла. Так как AB=AC, то сторона AC также равна BC. Значит, треугольник ABC равнобедренный, и углы ∠ABC и ∠ACB равны. Тогда угол ∠CAB равен 180-2∠ABC, что больше 90 градусов. Значит, вершина D лежит по ту же сторону от прямой AB, что и вершина B.

Если угол ∠ABC прямой, то треугольник ABC прямоугольный и AB параллельны CD в силу того, что противоположные стороны прямоугольника параллельны.

Таким образом, в любом случае вершины B и D лежат по одну сторону от прямой AC, и из этого следует, что AB параллельны CD.