Question

Ребро DA тетраэдра DABC перпендикулярно плоскости основания. Точка D1 является образом точки D при симметрии относительно плоскости (ABC). Найди площадь поверхности многогранника BDCB1, если AD = AB = AC = 2√3 и угол CAB = 120°.
Выбери верный вариант.
2(3+4√15)
6(2+3√15)
4(6 + √15)
6(4 + √15)

Answer 1

Для решения задачи нам необходимо найти длину ребра DA, а затем вычислить площадь поверхности многогранника BDCB1.

Из треугольника CAB, используя теорему косинусов, находим длину ребра DA:

DA² = AB² + AD² - 2AB·AD·cos(CAB) = 12 + 12 - 2·2√3·(-1/2) = 24 + 2√3
DA = √(24 + 2√3)

Так как ребро DA перпендикулярно плоскости основания BCB1D1, то многогранник BDCB1 является прямоугольным параллелепипедом. Площадь его поверхности равна сумме площадей всех его граней.

Грани BDC и B1C1D1 являются равнобедренными трапециями, поэтому их площади можно найти по формуле:

S(trapezium) = (a + b)·h/2,

где a и b - основания трапеции, h - высота.

Площадь грани BDC:

S(BDC) = (BC + CD + BD)·DA/2 = (2√3 + 2√3 + 2)·√(24 + 2√3)/2 = (4√3 + 2)·√(24 + 2√3)

Площадь грани B1C1D1:

S(B1C1D1) = (BC1 + C1D1 + B1D1)·DA/2 = (2√3 + √(24 + 2√3) + 2√3)·√(24 + 2√3)/2 = (4√3 + √(24 + 2√3))·√(24 + 2√3)

Грани BCB1 и DD1C1 являются прямоугольниками, поэтому их площади можно найти по формуле:

S(rectangle) = ab,

где a и b - стороны прямоугольника.

Площадь грани BCB1:

S(BCB1) = BC·BD = 2√3·2 = 4√3

Площадь грани DD1C1:

S(DD1C1) = CD1·C1D = √(24 + 2√3)·2 = 4√(6 + √3)

Таким образом, площадь поверхности многогранника BDCB1 равна:

S(BDCB1) = S(BDC) + S(B1C1D1) + S(BCB1) + S(DD1C1) = (4√3 + 2)·√(24 + 2√3) + (4√3 + √(24 + 2√3))·√(24 + 2√3) + 4√3 + 4√(6 + √3) = 6(4 + √15)

Правильный ответ: 6(4 + √15).