Question

В треугольнике ABC известно, что ∟C = 90 °. Докажите, что:
1) прямая ВС является касательной к окружности с центром А, которое проходит через точку С;
2) прямая АВ не является касательной к окружности с центром С, которое проходит через точку А

Answer 1

1) Пусть ΔАВС - данный, ∟C = 90 °, окружность с центром в т. А проходит через т. С
Докажем что ВС является касательной к окружности.
Прямая ВС проходит через т. С круга, отрезок АС - радиус окружности.
По условию АС ┴ ВС (∟C = 90 °), тогда по признаку касательной к окружности ВС является касательной к окружности.
2) Пусть ΔАВС - данный, ∟C = 90 °, окружность с центром в т. С проходит через точку А.
Докажем, что прямая АВ не является касательной к окружности.
Прямая АВ проходит через т. А круга, отрезок АС - радиус окружности.
Если бы АВ была касательной к окружности в т. А, то ВА ┴ СА i ∟CAB = 90 °.
Но в ΔАВС является ∟С = 90 °, так как в треугольнике не может быть два прямых угла,
то ∟CAB ≠ 90 °, следовательно, АВ не является касательной к окружности.