(2x+y+1)du/dx+(x-2y)du/dy=0

Question

Задание по уравнениям мат физики. Провести анализ на существование и единственность решения.

Answer 1

Для проведения анализа на существование и единственность решения данного дифференциального уравнения, необходимо проверить выполнение условий теоремы о существовании и единственности решения для уравнений вида:
P(x, y) * du/dx + Q(x, y) * du/dy = 0.

В данном случае, уравнение имеет вид:
(2x + y + 1)du/dx + (x - 2y)du/dy = 0.

Условия теоремы о существовании и единственности решения требуют, чтобы функции P(x, y) и Q(x, y) были непрерывными на некоторой области D в плоскости (x, y).

Проверим непрерывность функций P(x, y) = 2x + y + 1 и Q(x, y) = x - 2y.
Обе функции являются линейными полиномами и, следовательно, непрерывными на всей плоскости (x, y).

Таким образом, обе функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны на всей плоскости (x, y), а значит, выполняются условия теоремы о существовании и единственности решения.

Следовательно, по данной теореме, уравнение (2x + y + 1)du/dx + (x - 2y)du/dy = 0 имеет единственное решение на некоторой области D в плоскости (x, y).