Question

Оля, Коля, Маша и Витя участвовали в олимпиаде. Витя решил 8 задач — больше всех, Оля решила 5 задач — меньше всех. Каждая задача олимпиады была решена ровно тремя из четырех школьников. Сколько задач было на олимпиаде?

Answer 1

Решение:
Коля и Маша могли решить либо по 6 задач, либо один из них решил 6 задач, а другой 7, либо оба решили по 7 задач.
Допустим, что Коля и Маша решили по 6 задач. Тогда, складывая задачи, решенные всеми четырьмя школьниками, получим 8 + 6 + 6 + 5 = 25 задач. При этом каждую задачу олимпиады мы посчитали 3 раза (каждая задача олимпиады была решена ровно тремя школьниками), поэтому задач на олимпиаде было в Зраза меньше. Но 25 на 3 не делится, следовательно, Коля и Маша не могли решить по 6 задач.
Такие же рассуждения показывают, что один из них не мог решить 6, а другой 7 задач, но решить по 7 задач Коля и Маша могли. При этом на олимпиаде было (8 + 7 + 7 + 5):3 = 9 задач.
Проверим, что 9 задач на олимпиаде решены друзьями так, как сказано в условии.
Например, задачи могли быть решены в порядке, указанном в таблице 7:
Таблица 7
    1    2    3    4    5    6    7    8    9
Витя    +    +    +    +    -    +    +    +    +
Коля    -    +    -    +    +    +    +    +    +
Маша    +    -    +    -    +    +    +    +    +
Оля    +    +    +    +    +    -    -    -    -